Melangez bien un jeu de cartes et vous tenez sans doute un ordre qui n'a jamais existe

Chaque melange soigneux d'un jeu de cartes cree probablement quelque chose de nouveau dans l'histoire du monde: un ordre de 52 cartes qui n'a jamais existe et qui n'existera sans doute plus jamais. Cela ressemble a une exageration de tour de fete. C'est de l'arithmetique.

L'affirmation survit aux mathematiques, mais seulement sous sa forme honnete. La version populaire dit qu'un jeu possede plus d'arrangements qu'il n'y a d'atomes dans l'univers. Cette partie est fausse, et la corriger rend le vrai nombre plus impressionnant, pas moins.

Le nombre derriere un melange

Arranger des cartes, c'est multiplier. La premiere carte d'un jeu melange peut etre n'importe laquelle des 52. La suivante peut etre n'importe laquelle des 51 restantes, puis 50, et ainsi de suite jusqu'a 1. Multipliez tout et vous obtenez 52 factorielle, note 52!, qui vaut 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000. C'est environ 8,07 x 10^67, un nombre de 68 chiffres, comme l'explique le Bureau pour la science et la societe de l'universite McGill dans son detail du calcul.

Les petits jeux montrent pourquoi le total explose. Dix cartes donnent 3 628 800 ordres, deja plus de trois millions. Vingt cartes donnent environ 2,4 x 10^18 ordres. A 52 cartes, le compte a laisse le langage ordinaire loin derriere.

Plus grand que la Terre, plus petit que l'univers

Les scientifiques estiment que la Terre contient environ 10^50 atomes. Le compte du jeu bat cela par un facteur d'environ un milliard de milliards. Mais l'univers observable contient quelque chose comme 10^78 a 10^80 atomes, ce qui bat facilement le compte du jeu. L'affirmation virale depasse la cible. La vraie affirmation, celle qui vaut la peine d'etre repetee, est celle ci: plus d'ordres dans un jeu qui tient dans une main que d'atomes dans toute la planete sur laquelle vous vous tenez.

Le temps rend le point plus net. Imaginez que chaque personne sur Terre melange un jeu par seconde, sans arret, depuis le Big Bang il y a environ 13,8 milliards d'annees. Le total des melanges arriverait a environ 10^27. Face a 10^67 ordres possibles, ce n'est pas une breche. Ce n'est meme pas un billionieme d'un billionieme d'un billionieme du total. On joue aux cartes depuis des siecles dans le monde entier, et la fraction des ordres possibles jamais produits est si petite qu'elle s'arrondit a zero.

Pourquoi sept melanges comptent

Il y a une condition. Un melange paresseux n'atteint pas le fond de cet espace de nombres. Les jeux neufs sortent de la boite dans un ordre standard, et les parties poussent les cartes vers des motifs familiers. Les mathematiciens qui etudient le melange en cascade ont trouve qu'environ sept bons melanges en cascade rendent un jeu effectivement aleatoire, c'est a dire que chaque ordre devient a peu pres aussi probable. Moins de melanges laissent des traces de l'ordre de depart. Plus n'ajoute pas grand chose.

Le rituel a la table de cartes fait donc un vrai travail. Avec un ou deux melanges distraits, vous reordonnez l'histoire. Avec sept bons, vous tenez tres probablement une sequence de 52 cartes qu'aucune partie, aucun casino, aucune table de cuisine n'a jamais produite. Melangez encore et vous le ferez presque a coup sur de nouveau. Le jeu dans vos mains est du carton ordinaire. Le nombre cache dedans ne l'est pas.